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Probabilidade

(UERJ) Em uma escola, 20% dos alunos de uma turma marcaram a opção correta de uma questão de múltipla escolha que possui quatro alternativas de resposta. Os demais marcaram uma das quatro opções ao acaso.

Verificando-se as respostas de dois alunos quaisquer dessa turma, a probabilidade de que exatamente um tenha marcado a opção correta equivale a:

A) 0,48    B) 0,40   C) 0,36   D) 0,25

comentário: Essa é uma questão de nível difícil, onde apenas 9% dos candidatos da UERJ acertaram essa questão

resolução:

Temos aqui dois grandes grupos, os que sabiam a questão (20% dos alunos = 0,2 dos alunos) e os que não sabiam a questão e por isso resolveram a questão “chutando” as alternativas (80% dos alunos = 0,8 dos alunos).

Do grupo dos que não sabiam a questão (80% dos alunos), uma parte “chutou” e acertou, outra parte “chutou” e errou.

Destes que “chutaram” a probabilidade de acertar era 25% = 0,25, pois a questão possuia 4 opções, e por isso cada opção corresponde a 100%/4 = 25%= 0,25

Destes que “chutaram” a probabilidade de errar era 75% = 0,75, pois se a questão possuia 4 opções, e se do total das opções (100%) excluirmos a probabilidade de acertar (25%) restará a probabilidade de errar:

100% – 25% = 75% =0,75

Não se perca:

A probabilidade de acertar ao acaso será 25% de um total de 80%, ou seja, para saber a probabilidade de acertar no “chute” basta calcular: 0,8×0,25 = 0,2 (que equivale a 20%)

A probabilidade de errar será 75% de um total de 80%, ou seja, para saber a probabilidade de errar no chute basta calcular: 0,8×0,75 = 0,6 (que equivale a 60%)

Obs: Na probabilidade o termo “OU” acarreta numa SOMA, enquanto o termo “E” acarreta numa multiplicação.

Tomando as respostas de dois alunos quaisquer da turma, onde apenas um desses alunos tenha acertado a questão, assim observaremos as seguintes possibilidades de casos favoráveis:
1º – Vamos calcular a probabilidade P1 do primeiro aluno ter acertado a questão, e para isso este aluno deve estar entre os 20%  que marcaram a opção correta porque sabiam resolver a questão ou entre alunos que acertaram a questão ao acaso, que também são 20%, assim temos:

P1 = 0,2 + 0,2 = 0,4

A probabilidade P2 do segundo aluno ter errado a questão, é:

P2 = 0,6

Assim para a probabilidade P do primeiro ter acertado e o segundo aluno ter errado, será:

P = P1xP2

P = 0,4 x 0,6 = 0,24

2º – Também seria possível uma probabilidade P’ em que o primeiro aluno tenha errado a questão e o segundo aluno tenha acertado, nesse caso teremos:

P1′ é a probabilidade do primeiro aluno ter errado, logo:

P1′ = P2 = 0,6

P2′ é a probabilidade do segundo aluno ter acertado, logo:

P2′ = P1 = 0,4

Então a probabilidade P’ será:

P’= P1’xP2′ = 0,6×0,4 = 0,24

Por isso a Probabilidade Pt do primeiro aluno ter acertado e o segundo errado ou do primeiro aluno ter errado e o segundo acertado, temos:

Pt = P + P’ = 0,24 + 0,24 = 0,48

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Raciocínio Lógico e Conjuntos

Uma turma de 94 alunos discute a preferência por dois professores A e B, entre outros professores da escola. Após a discussão, registrou-se que o número de alunos que preferem o professor B era:

* O quíntuplo do número de alunos que preferem A e B;
* O triplo do número de alunos que preferem A;
* A metade do número de alunos que não preferem A e nem B.

Nessas condições, o número de alunos que não preferem os dois professores é

(A) 60.
(B) 64.
(C) 72.
(D) 84.
(E) 88.

Resolução:

Essa questão é resolvida facilmente (e com alguns cuidados) através de Conjuntos.

Analisando as afirmações:

A 1° afirmação diz que o número de alunos que preferem o professor B é 5 vezes maior que o numero de alunos que preferem os professores A e B.

Assim, chamando de X a quantidade de alunos que preferem os professores A e B, temos 5X para a quantidade que preferem o professor B. representando no diagrama temos:

fig 1

Obs: Reparem que dentro do conjunto “prof B” deve haver a quantidade 5X o que de fato está ocorrendo, pois já tínhamos a quantidade X, e para completar os 5X faltavam apenas 4X no conjunto “prof B”

A 2° afirmação diz que o número de alunos que preferem o professor B é 3 vezes maior que o numero de alunos que preferem o professor A. chamando de Y a quantidade de alunos que preferem o professor A, temos:

5X = 3Y assim o valor de Y será: Y = 5X/3 mas como no conjunto “prof A” já tem a quantidade X, para completar 5X/3 devemos somar 2X/3. Assim no diagrama teremos:

fig 2

A 3° afirmação diz que o número de alunos que preferem o professor B corresponde a metade dos alunos que não gostam do professor A e nem do professor B, ou seja, os alunos que não gostam de A e nem de B é o dobro dos alunos que gostam do professor B.

Assim, se os alunos que gostam do professor B equivale a 5X, desta forma os que não gostam do professor A e nem do professor do B equivale a 10X, por isso esse valor deverá ficar fora do conjunto.

fig 3

 Somando os valores 2X/3 + X + 4X + 10X = 94 , então temos: 47X/3 = 94 e portanto: X = 6

Os alunos que não preferem os dois professores são: 94 – (a quantidade de alunos que gostam dos dois professores), ou seja, 94 – X , assim, 94 – 6 = 88 alunos.

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Questões Resolvidas Faetec 1°Semestre/2013 – Ensino Médio

Questão 25:

Em uma determinada escola, cada aluno tem uma aula de educação física por semana. Cada aula é dividida em 2 atividades: futebol e basquete. Considere que certa semana, 42% dos alunos que compareceram jogaram basquete e 290 alunos jogaram futebol. Se 20% dos alunos da escola não compareceram, então o número de alunos dessa escola é:

(A) 400.
(B) 500.
(C) 550.
(D) 625.
(E) 650.

Resolução:

Considere:

Y – alunos que compareceram a aula

X – Total de alunos da escola

Temos que:

42% de Y —> Jogaram basquete

290 alunos —> jogaram futebol

Comentário:

Se 42% de Y representam os que jogaram basquete, concluímos que 58% de y jogaram futebol, já que 42% + 58% = 100% 

Portanto:

58% de Y = 290 alunos

Assim:

Se 58% de Y = 290, temos que:

Logo:

Y = 500 alunos

Obs:  Esse valor representa  a quantidade de alunos que COMPARECERAM a aula!

Agora temos 500 alunos que compareceram e 20% do total X que faltaram a aula.

Comentário:

Podemos então afirmar que:

X = (500 alunos que compareceram) + (20% de X que faltaram), e com isso concluímos que 80% de X compareceram, logo:

80% de X = 500 alunos

Assim:

Se 80% de X = 500, temos que:

Logo: X = 625 alunos

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